P ±Ê. ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ Šˆ Ÿ Š. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

Transcript

1 P ±Ê ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ Šˆ Ÿ Š ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ

2 ±Ê.. P μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ò μ± Ì μ Ö ±μ ²μ μ Ò μ Ìμ ± μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í ( ² Õ) Ò μ± Ì μ Ö ±μ, μ μ Ò ³ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ (Œ ). Œ - ³ μ μî² É n μ ²Ö É Ö μ Î ÉÒ ³ Ò³ Ô² ³ É ³, Ò³ É ÌÉμÎ Î μ ɱ x 0 + α<x 0 <x 0 + β, αβ < 0. μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ÒÎ ² Ö ±μôëë Í Éμ μ² μ³ ²Ó μ ³μ ² 12- μ μ Ö ±, Ö- Ð μé ² Ò É ², Ò ÒÌ ³ É μ α, β Î μ μ ÒÌ f (m) (x 0 + ν), ν = α, β, 0, m = 0,3. ³ Œ -³ μ μî² μ Ò μ± Ì É ²Ö ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í ² Ö μ ÒÏ É Ê Éμ Î μ ÉÓ ÉμÎ μ ÉÓ ÒÎ ² Ê ² Î Ï É±, É ± μ É ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ ² μ ɳμ. μé Ò μ² μ Éμ Ëμ ³ Í μ ÒÌ É Ì μ²μ ˆŸˆ. É Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ. Ê, 2014 Dikusar N. D. P Polynomial Approximation of the High Orders The new approach is proposed to the high orders polynomial approximation (smoothing), based on the basic elements method (BEM). The nth-degree BEMpolynomial is expressed in the form of four basic elements, given at a three-point grid x 0 + α<x 0 <x 0 + β, αβ < 0. Formulae of calculation coefˇcients of the 12th order polynomial model depending on length of an interval, continuous parameters α, β and values of derivatives f (m) (x 0 + ν), ν = α, β, 0, m = 0.3 are received. Application of the BEM-polynomial of high degrees for piecewise polynomial approximations (PWA) and smoothing increases stability and accuracy of calculations at growth of a step of a grid, and downturns computing complexity as well. The investigation has been performed at the Laboratory of Infomation Technologies, JINR. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 2014

3 ˆ ² ³ μ μî² ³ ² ± Ì ËÊ ±Í, ÒÌ ² É Î ± ² μ ³ ÉμÎ ± {(x i,y i )} N i=1 ²μ ±μ É, Ö ²Ö É Ö ±² Î ±μ μ- ² ³μ ³ É ³ É ±. Î μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í, Ô± É μ- ²ÖÍ ² Ö Ï μ±μ μ²ó ÊÕÉ Ö ± ± É μ É Î ± Ì, É ± ±² ÒÌ ² μ ÖÌ ³ É ÕÉ Ö ² Î ÒÌ ±É Ì, - ² Î μ É ÓÕ ²Ê Ò μ μ³ μ³ Î ² É É ³μ μ Ë. ²Ö - μ± ³ Í ² Ö ± ÒÌ ( μ Ì μ É ) μ ²μ Ò³ - ³μ ÉÖ³, ± ÒÌ ²ÊÎ Ò³ μï ± ³, μ² Î Éμ μ²ó ÊÕÉ ² Ò, ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó ÊÕ μ± ³ Í Õ (Š ) ± - É Î ÊÕ ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó ÊÕ μ± ³ Í Õ ( Š ). μ Î ÔÉμ³ Ö ²Ö É Ö μ ÒÏ Ì ÔËË ±É μ É. ˆ μ²ó μ ³ μ μî² μ Ò μ± Ì É Ö ²Ö É Ö ±É Ò³ ² μ ÒÏ Ö ÔËË ±É μ É ³ Éμ μ Š Š. μéö ±- É ± ³ μ μî² Ò Ò μ± Ì É μ²ó ÊÕÉ Ö ±μ - Ê Éμ Î - μ É Î Éμ μ²óïμ ÒÎ ² É ²Ó μ ²μ μ É, μ ÉμÎ μ É ± - Î É Ê μ± ³ Í μ ÕÉ ³ ÓÏÊÕ μ É ÉμÎ ÊÕ Õ μ² ² ± ʲÓÉ É ± Ô± ³ É ²Ó Ò³ Î Ö³. μ ²μ - μ³ ³ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ (Œ ) ² Î ± ³ μ μî² μ - Ê É Ö ± Ëμ ³ Œ -³ μ μî², μ μ ²μ± ²Ó μ É ÌÉμÎ Î μ ɱ Δ αβ 3 : x α = x 0 + α<x 0 <x 0 + β = x β, αβ < 0, β>0, μ Ð ³ ²ÊÎ μ³ μ. Ò ËÊ ±Í Œ -³ μ μî² É μ³ ³Ò ² ÕÉ ÉÊ μ²ó, ÎÉμ ³ μ μî² Ò ÒÏ [1] É μ ² Ö ËÊ ±Í. μ- Î ± ² ± ± ³μ μ ² ³ [2], μ μ ²ÖÕÉ Ö Î Ò Ô² - ³ ÉÒ Å μ Ê ±Ê Î ±ÊÕ É ± É Î Ò μ²ò [3]. ŠμÔËË - Í ÉÒ Œ -³ μ μî² É n, μ± ³ ÊÕÐ μ f(x), ÖÉ μé Ò ÒÌ ³ É μ α, β, ² Ò É ² γ = β α Î f (j), j = 0, n/3, Ê ² Ì É± Δ αβ 3 [4]. ³ Éμ Ì ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ ² ² μ μ μ± ³ Í ³ μ- μî² Ò Ò μ± Ì É μ μ μ Ò μ Ò, μ ±μ²ó±ê μ μ Î ÕÉ ²ÊÎÏÊÕ ²μ ²Ó ÊÕ ² ±μ ÉÓ Î É Ê³ ÓÏ Ö Î ² Ê ²μ [5, 6]. 1

4 μ É ÉÓ μ²êî Ò μ Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ÒÎ ² Ö ±μôëë Í - Éμ Œ -³ μ μî² μ 11- É. ˆÌ ÔËË ±É μ ÉÓ μ É Î - É ³ ² Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ μ± ³ Í É Éμ ÒÌ ËÊ ±Í, Éμ³ Î ² ³ É Î ± ÒÌ. É ÉÓÖ μ μ ² ÊÕÐ ³ μ μ³.. 1 ± É±μ ²μ Ò μ É ÒÌ Ô² ³ Éμ ±μ É Ê±Í Ö Œ -³ μ μî² [3, 4].. 2 ÕÉ Ö ² Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ÒÎ ² Ö ±μôëë Í Éμ Œ -³ μ μî² μ 5- Ä11- É μ³ μ ɱ Δ αβ 3. μ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í - Éμ d i, i = 0,11, ²μ ËÊ ±Í f(x) μ É Ö³ (x x 0 ) μ³ μ ɱ Δ h 3 Ò. 3. ² Ò Î ÉÒ ±μ ± É ÒÌ Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ ² Ö ËÊ ±Í ² Ö Ô± - ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ ÕÉ Ö ³ Œ -³ μ μî² μ 11- É ²Ö μ± ³ Í ± ÒÌ, ÒÌ ³ É Î ±, ³ - É É Ö ˆ Œ ˆ Š Š ˆŸ Œ -Œ ƒ Ò Ô² ³ ÉÒ w 1, w 2, w 3 Q ÖÉ μé ³ μ τ Ò - ÒÌ ³ É μ α, β, ³ Ê ±μéμ Ò³ Ê É μ ² ÊÉ ÖÖ Ö Ó Í - ²Ó Ò³ ²μ³ ²μ μ μ μé μï Ö Î ÉÒ Ì ÉμÎ ± [ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ] = [13]/[23] : [34]/[14], [ij] =ξ j ξ i, ξ j ξ i. ²Ö Î É ± [ταβ0] ÔÉμ ²μ μ μ É É ÒÌ Ô² ³ É w i, i = 1,3 [3, 4]: w 1 = τ(τ β), w 2 = αγ τ(τ α), w 3 = βγ (τ α)(τ β), αβ 3 w i =1, γ = β α. (1.1) i=1 É ÉÒ Ô² ³ É Q = αβτw 3 É ²Ö É Ê²ÖÕÐÊÕ ±Ê Î ±ÊÕ μ²ê: Q = τ(τ α)(τ β), τ, α, β R, αβγ 0. (1.2) ³ Ö τ = x x 0 ³ É Ò α = x α x 0, β = x β x 0 ÖÉ μé μ²μ Ö x 0 ɱ Δ αβ 3. Ò Ô² ³ ÉÒ w i Q μ ÊÕÉ É Ê±ÉÊ Ê Î É Î μ ³³ É μé μ É ²Ó μ É μ ± α β: w 1 w 2, w 3 w 3, Q Q. Ê ±Í Ö Q Ö ²Ö É Ö μ μ μ μ : Q(μτ, μα, μβ) = μ 3 Q(τ,α,β), w i (μτ, μα, μβ) = w i (τ,α,β), μ 0, μ R, μ ² ÕÉ ³ ÏÉ μ É μ ÉÓÕ. 2

5 Š ± μ± μ [4], ² Î ± ³ μ μî² P n (x; a) =a 0 + a 1 x a n x n ³μ μ É ÉÓ Î Ò ËÊ ±Í b ji = Q j w i (±μ³ μ- ÉÒ b j ) P n m (x, α, β; r) = m b T j r j, m = n/3, (1.3) j=0 b j = Q j w T =[b j1,b j2,b j3 ] T, r j =[r jα,r jβ,r j0 ] T Å ±μôëë Í ÉÒ w =[w 1,w 2,w 3 ] T. Ê ±Í b ji (τ,α,β), i = 1,3, Ö ²ÖÕÉ Ö ³ μ μî² ³ É 3j +2, j = 0,m, ʲֳ Ê ² Ì É± Δ αβ 3, må ³ ± ³ ²Ó Ö É Ó Q. Ï ³ Ê Ö ², μìμ ÖÐ Ì Î É μ ± μ ÕÐ Ì ÉμÎ ± ²μ ±μ É (x ν,r jν ), ν = α, β, 0, ɱ ±Éμ μ w r j : Π j (τ,α,β; r j )=w T r j = r jα w 1 + r jβ w 2 + r j0 w 3, j = 0,m. (1.4) μ³ É Î ±μ³ ³Ò ² ÔÉ Ê Ö, ³μ É μé μ²μ Ö r jν É ± ²ÖÌ x = x ν, ν = α, β, 0, É ²ÖÕÉ ± É Î Ò μ²ò, ±²μ Ò ² μ μ É ²Ó Ò Ö³Ò. ÊÎ Éμ³ (1.4) Ëμ ³Ê² (1.3) - ³ É P n m (x, α, β; r) = m Q j Π j, m = n/3. j=0 ² μé ± [x α,x β ] γ = β α. x 0 ² Ì [x α,x β ] ³ ÖÕÉ Ö Î Ö α β, ±μéμ Ò ÔÉμ³ ²ÊÎ ÕÉ μ²ó Ê ²ÖÕÐ Ì ³ É μ, μ ±μ²ó±ê x 0 μ É ± ³ Õ ÒÌ ËÊ ±Í Î ² μ Ê ²μ ² μ É μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ, ² ÖÕÐ Ì ±μ Î Ò Ê²Ó- (x ν, a), ν = α, β, 0, j = 0,m. ±μ ÉÓ, ÎÉμ ±μ É Ê±Í Œ -³ μ μî² É ÌÉμÎ Î μ ɱ É μ Ò μ É ³ μ μî² μ ²μ ³ μ μî² μ Éμ- μ É. É É [4]. ŠμÔËË Í ÉÒ r jν ÒÎ ²ÖÕÉ Ö Î α, β Î Ö P (j) n 2. ˆ ˆ Š ˆ ˆ r jν Ð ²μ ²Ö Î É ±μôëë Í Éμ r jν ²μ μ μé [4]. μ³ ² ÕÉ Ö ² ÒÎ ² Ö r jν ²Ö Œ -³ μ μî² μ n- É, 3 n 11, μ± ³ ÊÕÐ Ì ËÊ ±Í Õ f(x) C (m) [x α,x β ], m = n/3. 3

6 ² Í 1 ν w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 Q Q Q α (γ α)/(αγ) α/βγ γ/αβ 2/αγ 2/βγ 2/αβ αγ 4α 2β 6 β β/αγ γ + β/βγ γ/αβ 2/αγ 2/βγ 2/αβ βγ 4β 2α 6 0 β/αγ α/βγ (α + β)/αβ 2/αγ 2/βγ 2/αβ αβ 2(α + β) 6 ŠμÔËË Í ÉÒ Œ -³ μ μî² Éμ μ É f P 2 0 = b T 0 r 0 = f α w 1 + f β w 2 + f 0 w 3 Ò Î Ö³ ËÊ ±Í f Ê ² Ì Δ αβ 3, É.. r 0 f =[f α,f β,f 0 ] T. ²Ö n>2 ±μ³ μ ÉÒ r j ÒÎ ²ÖÕÉ Ö μ f ν (j), Q (j) ν ν = α, β, 0. ʲ Ò Î Ö Q (j) ν w (j) ν w ν (j), j = 0,m, μ ²ÖÕÉ Ö Î ³ É Ò α, β γ [4] (É ². 1). μé [7] ±μôëë Í ÉÒ Œ -³μ ² Ï Éμ μ μ Ö ± f P 5 1 = P b T 1 r 1 μ ²Ö² Ó Î α, β Î Ö f, f Ê ² Ì É± Δ αβ 3, ÔÉμ³ r 1ν Ìμ ² Ó Ê ²μ (f Π 0 QΠ 1 ) x=x ν =0: r 1ν =Π 1 (x ν )=[f (x ν ) Π 0(x ν,α,β; r 0 )]/Q (x ν,α,β), ν = α, β, 0. (2.1) μ É μ ±μ x ν, α, β (2.1), ÊÎ Éμ³ (1.1), (1.2) É ². 1, μ²êî ³ { r 1α =H { r 1β =H r 10 =H βf α + 1 } αγ [β(γ α)f α + α 2 f β γ 2 f 0 ], }, (2.2) αf β + 1 βγ [β2 f α α(β + γ)f β γ 2 f 0 ] { γf αβ [ β2 f α + α 2 f β + γ(α + β)f 0 ] H =1/(αβγ). μ ²μ ±μ³ μ ÉÒ ±Éμ r 2 Œ -³μ ² f P 8 2 = P 5 1 +b T 2 r 2 ³μ μ μ²êî ÉÓ μ³μðóõ Ëμ ³Ê²Ò Í Ê ²μ Ö (f Π 0 QΠ 1 Q 2 Π 2 ) x=x ν =0: }, r 2ν =Π 2 (x ν )=(f ν Π 0ν Q νπ 1ν 2Q νπ 1ν)/(2Q 2 ν ),ν = α, β, 0. (2.3) ± Ò Ö ÊÕ Î ÉÓ (2.3), ÊÎ Éμ³ É ². 1 (1.1), (1.2), Ìμ ³ 4

7 r 2α = 1 { f α α 2 γ 2 r 2β = 1 β 2 γ 2 r 20 = 1 α 2 β 2 2! +H[βf α αf β γf 0 ]+ 1 } β [β(γ α)r 1α+α 2 r 1β γ 2 r 10 ], { f β 2! +H[βf α αf β γf 0 ]+ 1 } α [β2 r 1α α(β+γ)r 1β γ 2 r 10 ], { f 0 2! +H[βf α αf β γf 0 ]+ 1 } γ [ β2 r 1α +α 2 r 1β +γ(α+β)r 10 ]. (2.4) μ ³Ê²Ò ²Ö r 3ν ³μ ² 12- μ μ Ö ± f P 11 3 = P b T 3 r 3 μ - ²ÖÕÉ Ö Ê ²μ (f Π 0 QΠ 1 Q 2 Π 2 Q 3 Π 3 ) x=x ν =0: r 3ν =Π 3 (x ν ; α, β) = 1 [f 6Q 3 ν Q ν Π 1ν ν 3Q νπ 1ν 3Q νπ 2 1ν 6Q νq νπ 2ν 6Q 2 ν Π 2ν],ν = α, β, 0. (2.5) μ ² μ É μ ± x ν, α, β ÊÕ Î ÉÓ (2.5) μ²êî ³ Ëμ ³Ê²Ò ²Ö r 3ν : r 3α = 1 { 1 α 3 γ 3 3! f α + r 1α 2αγ(γ α)r 2α + 1 β [βr 1α αr 1β γr 10 ] (γ α)h[β(γ α)r 1α +α 2 r 1β γ 2 r 10 ]+ αγ } β [β(γ α)r 2α +α 2 r 2β γ 2 r 20 ], r 3β = 1 { 1 β 3 γ 3 3! f β r 1β 2βγ(β + γ)r 2β + 1 α [βr 1α αr 1β γr 10 ]+ +(β +γ)h[β 2 r 1α α(β +γ)r 1β γ 2 r 10 ]+ βγ } α [β2 r 2α α(β +γ)r 2β γ 2 r 20 ], (2.6) r 30 = 1 { 1 α 3 β 3 3! f 0 r 10 +2αβ(α + β)r γ [βr 1α αr 1β γr 10 ]+ +(α+β)h[ β 2 r 1α +α 2 r 1β +γ(α+β)r 10 ]+ αβ } γ [ β2 r 2α +α 2 r 2β +γ(α+β)r 20 ]. ²μ ÒÎ ² Ö r jν μ μ Ð É Ö ²ÊÎ ³ μ μî² μ μ² Ò μ±μ É [4]. 5

8 Ê ³ ±Éμ Ò v =[β, α, γ] T, v α =[β(γ α),α 2, γ 2 ] T, v β = [β 2, α(β + γ), γ 2 ] T v 0 =[ β 2,α 2,γ(α + β)] T ±μ³ μ É ³, Ö- Ð ³ μé ³ É μ ɱ Δ αβ 3. μ³μðóõ ɱ r j, j = 0,3, v v ν, ν = α, β, 0, Ëμ ³Ê²Ò (2.2), (2.4) (2.6) Ê μð ÕÉ Ö: r 1α = 1 { f αγ α + Hvαr T } 0, r 1β = 1 { f βγ β + Hvβ T } r 0, (2.7) r 10 = 1 { f αβ 0 + Hv0 T r } 0. μ ²μ ±μ³ μ ÉÒ r 2 (2.4) r 3 (2.6) ³ ÕÉ μ² μ Éμ : r 2α = 1 α 2 γ 2 r 2β = 1 β 2 γ 2 r 20 = 1 α 2 β 2 { f α }, 2! +(γ α)r 1α + Hv T r β vt α r 1 { f β 2! (β + γ)r 1β + Hv T r } α vt β r 1, (2.8) { f 0 2! +(α + β)r 10 + Hv T r } γ vt 0 r 1, r 3α = 1 { f α α 3 γ 3 + r 1α 2αγ(γ α)r 2α + 3! + 1 β vt r 1 (γ α)hvα T r 1 + αγ } β vt α r 2, r 3β = 1 { f β β 3 γ 3 r 1β 2βγ(β + γ)r 2β + 3! + 1 α vt r 1 +(β + γ)hvβ T r 1 + βγ } α vt β r 2, (2.9) r 30 = 1 { f 0 α 3 β 3 r 10 +2αβ(α + β)r ! + 1 γ vt r 1 +(α + β)hv0 T r 1 + αβ } γ vt 0 r 2. ɳ É ³, ÎÉμ ʳ³ ±μ³ μ É ± μ³ ±Éμ v, v α, v β v 0 ʲÕ. ²Ö Ê μ É ±μ³ μ ÉÒ ±Éμ μ v, v ν ³ μ É ² ɱ Ì v T r (μ μ Î ³ Ì Î A ν,b ν,c ν,d ν,e ν,f ν,g ν, ν = α, β, 0) ³ É ³ É ². 2, 3. 6

9 ² Í 2 ν v v α v β v 0 r 0 r 1 r 2 r 3 α β β(γ α) β 2 β 2 f α r 1α r 2α r 3α β α α 2 α(β + γ) α 2 f β r 1β r 2β r 3β 0 γ γ 2 γ 2 γ(α + β) f 0 r 10 r 20 r 30 ² Í 3 ν A ν B ν C ν D ν E ν F ν G ν α αγ γ α 1 1/β αγ(γ α) H(α γ) αγ/β β βγ (β + γ) 1 1/α βγ(β + γ) H(β + γ) βγ/α 0 αβ α + β 1 1/γ αβ(α + β) H(α + β) αβ/γ μ μ Î ÖÌ É ². 2, 3 Ëμ ³Ê²Ò (2.7)Ä(2.9) ÏÊÉ Ö r 1ν =A 1 ν [ C νf ν + Hvν T r 0 ], (2.10) 1! r 2ν =A 2 ν [ f ν 2! +B νr 1ν + Hv T r 0 +D ν vν T r 1 ], (2.11) r 3ν =A 3 ν [C νf ν C ν r 1ν +2E ν r 2ν + (2.12) 3! +D ν v T r 1 +F ν vν T r 1 +G ν vν T r 2], ν = α, β, 0. ±μ ³ É ÉÓ, ÎÉμ ±μ³ μ ÉÒ ±Éμ μ r j = r j (r 0, r 1,...,r j 1, α, β; f ν (j) ), j = 1,3, ν = α, β, 0, ÒÎ ²ÖÕÉ Ö ±Ê μ, Ê ² Î É Œ -³ μ μî² μ É ÉμÎ μ É ±μ³ μ ÉÒ Éμ²Ó±μ ²Ö ±Éμ r m+1,é ±± ±P n+3 m+1 = P n m + b m+1 r m+1. ²μ ˳ É Î ± Ì μ Í ²Ö Ë ± μ ÒÌ α β ³μ μ ʳ Ó- Ï ÉÓ ÊÉ ³ É Ê² μ Ö ±μ³ μ É ±Éμ μ v, v α, v β, v 0 ² Î 1/A ν, 1/(A ν ) 2,1/(A ν ) 3,B ν,c ν,d ν,e,f ν,g ν, H. ÔÉμ³ ²ÊÎ ÒÎ ² μ μ ±μ³ μ ÉÒ r 1, r 2 r 3 μ Ëμ ³Ê² ³ (2.10)Ä(2.12) μ μ É Ö μμé- É É μ 8, μ Í ² ³ 14 ±μ μé± Ì μ Í μ ±μôëë Í É. ³ Î 1. Ëμ ³Ê² Ì (2.10)Ä(2.12) Ò ² ³Ò ± É ÒÌ ±μ ± Ì ÉμÎ μ ÉÓÕ μ ± Ò ±μôëë Í É ³ ³ μ μî² ²μ, ÒÎ ² Ò³ Ê ² Ì É± Δ αβ 3. ŠμÔËË Í ÉÒ r jν, j = 0,3, μ²μ Ò ² ÖÌ x = x ν, ν = α, β, 0, ±μôëë Í ÉÒ ²μ Å x = x 0. ³μ ÉÓ r jν μé f ν (j) μ Î É ² ±μ ÉÓ j- μ μ Ö ± Ê ² Ì ÉÒ±μ ± ²Ö ² μ É³μ Š. 7

10 3. Š ˆ ˆ Œ -Œ ƒ ˆ {(x x 0 ) i } n i=0 Œ -³ μ μî² É n μ³ μ ɱ Δ h 3 : x 0 h<x 0 < x 0 + h ³ É P n m (τ; h; r) = m Q j (τ; h)[w 1 (τ; h)r j( h) + w 2 (τ; h)r jh + w 3 (τ; h)r j0 ], j=0 m = n/3. (3.1) ² ÊÖ É μ ³ μ ÒÎ ² ±μôëë Í Éμ d i (h; f (j) ν ), i = 0,5, j = 0,1, ν = h,h,0, ³ μ μî² 5- É [7], ³ ±μôëë Í ÉÒ ²μ - f(x) μ É Ö³ (x x 0 ): n f(x) D n m (x x 0 ; d) = d i (x x 0 ) i, i=0 x [x 0 h, x 0 + h], n =5, 8, 11. (3.2) Éμ Ò μ²êî ÉÓ Ëμ ³Ê²Ò ²Ö d i, i = 0,n, n =5, 8, 11, μ É ³ r jν (2.2), (2.4), (2.6) ÊÕ Î ÉÓ (3.1) α = h, β = h μ ³ ³ μ É ² (x x 0 ) i. ³ μ μ Î Ö, ²μ Î Ò Ò³ Éμ Ò³ μ ÉÖ³ ËÊ ±Í φ = f (j), j = 0,3, Ê ² Ì É± Δ h 3 : I φ = I(φ h φ h ) 2 φ(j,k,l)=jφ h + Kφ 0 + Lφ h, (3.3) φ ν = f (j) (x 0 ν), ν = h,0,h; I,J,K,L Z. I,J,K,L μö ²ÖÕÉ Ö ÒÎ ² r jν, ν = h,0,h. μ μ Î - ÖÌ (3.3) Ëμ ³Ê²Ò ²Ö d i ³ μ μî² Ì D 5 1 (x x 0 ; d), D 8 2 (x x 0 ; d) D 11 3 (x x 0 ; d) ɱ Δ h 3 ÏÊÉ Ö d 0 = f 0, d 1 = f 0, d 2 =[ 2 f(4, 8, 4) h f ]/(4h 2 ), d 3 =[5 f h 2 f (1, 8, 1)]/(4h 3 ), (3.4) d 4 =[ 2 f( 2, 4, 2) h f ]/(4h 4 ), d 5 =[ 3 f + h 2 f (1, 4, 1)]/(4h 5 ) 8

11 d 0 = f 0, d 1 = f 0, d 2 = f 0 /2!, d 3 =[35 f h 2 f (11, 48, 11) + h 2 f ]/(16h 3 ), d 4 =[ 2 f(48, 96, 48) 13h f + h 2 2 f (1, 24, 1)]/(16h 4 ), d 5 =[ 42 f h 2 f (18, 48, 18) 2h 2 f ]/(16h 5 ), (3.5) d 6 =[ 2 f(64, 128, 64) + 22h f h 2 2 f (2, 24, 2)]/(16h 6 ), d 7 =[15 f h 2 f (7, 16, 7) + h 2 f ]/(16h 7 ), d 8 =[ 2 f(24, 48, 24) 9h f + h 2 2 f (1, 8, 1)]/(16h 8 ) d 0 = f 0, d 1 = f 0, d 2 = f 0 /2!, d 3 = f 0 /3!, d 4 =[ 2 f(480, 960, 480) 165h f + h 2 2 f (21, 192, 21) h 3 f ]/(96h 4 ), d 5 = [693 f h 2 f (213, 960, 213) + h 2 24 f h 3 2 f (1, 64, 1)]/(96h 5 ), d 6 =[ 2 f( 320, 640, 320) + 131h f + h 2 2 f ( 19, 96, 19)+ +h 3 f ]/(32h 6 ), d 7 =[ 495 f + h 2 f (175, 640, 175) h 2 22 f + +h 3 2 f (1, 32, 1)]/(32h 7 ), (3.6) d 8 =[ 2 f(240, 480, 240) 105h f h 2 2 f ( 17, 64, 17) h 3 f ]/(32h 8 ), d 9 = [1155 f h 2 f (435, 1440, 435) + h 2 60 f h 3 2 f (3, 64, 3)]/(96h 9 ), d 10 =[ 2 f( 192, 384, 192) + 87h f + h 2 2 f ( 15, 48, 15)+ +h 3 f ]/(96h 10 ), d 11 =[ 315 f + h 2 f (123, 384, 123) h 2 18 f + +h 3 2 f (1, 16, 1)]/(96h 11 ). μ ³Ê²Ò (3.4)Ä(3.6) μ Î ÕÉ μ³ μ ² μï ± ε(x) = f(x) D n m (x; d) μ³ Êɱ [x 0 h, x 0 +h] μ²ó ÊÕÉ ³ μ μ μ²óï ˳ É Î ± Ì μ Í μ Õ Î ²μ³ μ Í, μ Ìμ ³Ò³ ²Ö Ìμ Ö ±μôëë Í Éμ ³ μ μî² ²μ É n Éμα x 0. 9

12 ±μ μ ÐÊÕ ÔËË ±É μ ÉÓ Î Éμ ³μ μ Ê ² Î ÉÓ Î É μ²ó μ- Ö m- μ μ Ö ± μ μ ÒÌ (m =3 11) ² Î Ò Ï h. i m ±μôëë Í ÉÒ d i μ ÕÉ ±μôëë Í É ³ ²μ, i>m, ν = h, h, 0, j= 0,m. ³ Î 2. Ò μ h É μé μ Ö f (j), j = 0,m, μé ± [x 0 h, x 0 + h]. ² ÊÕÐ Ì ² Ì Ëμ ³Ê²Ò (2.7)Ä(2.9) (3.3)Ä(3.6) ³ ÖÕÉ Ö ²Ö μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í μ ²Ó ÒÌ ³μ É ² Ö ÒÌ μï ± ³. μ ÒÎ ²ÖÕÉ Ö Î h f (j) ν 4. ƒœ ˆŸ Š ˆ ÔÉμ³ ² μ²ó ÊÕÉ Ö ² μ É³Ò Š ²Ö ² Ö ² ± Ì ËÊ ±Í Š [7] ²Ö ² Ö Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ. μ Î ³ Î N k Î ²μ ³ Éμ, μ± ³ ÊÕÐ Ì f μ ² - μ É ²Ó μ É ²μ± ²Ó ÒÌ Éμ± Δ α kβ k 3 Δ [a,b], k = 1,N k, Δ [a,b] Å ²μ ²Ó Ö É±, a = x 1 <x 2 <... < x J = b, J =2N k +1, Î ³ Ê ² Ì ÉÒ±μ ± α k β k 1, k>1. ² μ ɳ Š. ² μ ɳ ³ É Í ² ±μ ËÊ ±Í f Œ -³ μ μ- β ³ ɱ Δ [a,b] μ Éμ É ÊÌ ÔÉ μ. I. ÒÎ ² f (j) i = f (j) (x i ), j = 0,3, Ê ² Ìx i, i = 1,N i,n i 3. II. ÒÎ ² {r jν } k, ν = α k,β k, 0 k, j = 0,3, μ Ëμ ³Ê² ³ (2.7)Ä(2.9) ² d k, k = 1,N k, μ Ëμ ³Ê² ³ (3.3)Ä(3.6) ²Ö N k ³ Éμ μ²ó μ- ³ É μ ± {f (j) 1,f(j) 2,f(j) (j) 3 }, {f 3,f(j) 4,f(j) 5 },..., {f (j) N i 2,f(j) N i 1,f(j) N i }, μ Î É ÒÌ Ê ² Ì ²μ± ²Ó ÒÌ Éμ± Δ α kβ k 3 : x 0k + α k <x 0k <x 0k + β k Ê ²μ ÖÌ x 0k + α k x 0k 1 + β k 1. ³ Î 3. Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ Ê ² Ì ±² ± μ Ì ³ Éμ É ÊÕÉ Ö Ê ²μ Ö³ x αk x βk 1 f α (j) k f (j) β k 1. Î - Ö f ν (j) ³μ μ Ìμ ÉÓ Î ² μ μ μ μ² É ²Ó Ò³ Éμα ³ μ²óï Ì μ± É μ ÉÖÌ Ê ²μ ²μ ²Ó μ ɱ. ˆ É μ, ÎÉμ Ö Ê μ Ö ±μ³ ± - Î É μ³ μ± ³ Í ² μ³ Êɱ γ = β α, ±μéμ μ³ ³ μ μî² μ± ³ Ê É f, Ö ²Ö É Ö μ² ± É Î ± ³ ³ É μ³ Éμ ³μ- É ÒÎ ² ³ Éμ μ Š. ² μ Ö ÔÉμ³Ê Î Ì, É Ê É Ö Ò μ± Ö ÉμÎ μ ÉÓ, ÔËË ±É μ ÉÓ μ± ³ Í ³μ μ μ Ò ÉÓ Î É Ê ² Î Ö ² Ò μ³ Êɱ γ. ³ 1. ³ ³ ² μ ɳ Š ²Ö ² Ö ËÊ ±Í Ê f(x) =1/(1 + 25x 2 ), x [ 1, 1], (4.1) ³ μ μî² ³ ²μ 11- É Å T 11 (x x 0 ;c) D 11 3 (x x 0 ;d). ³ É ³, ÎÉμ ² f D 11 3 (x x 0 ; d) μ²ó ÊÕÉ Ö Î Ö 10

13 . 1. ² ËÊ ±Í Ê. Ï ± ε D(x, h, f ν (j) ) ε T (x, f (i) 0 ) ²Ö h =0,01 0,31 f (j), j = 0,3, É Ì Ê ² Ì, f T 11 (x x 0 ;c) Å Î Ö f (i), i = 0,11, Éμ²Ó±μ μ μ³ Ê ² x 0. ² ³ μ ÉμÎ μ É ² Ö ËÊ ±Í (4.1) ³ μ μî² - ³ D 11 3 (x; d) T 11 (x; c) μé ± [x 0 h, x 0 + h] ÊÌ Î ÖÌ Ï h =0,01 0,31. Œμ ʲ μï μ± μ± ³ Í ²Ö D 11 3 T 11 μμé É É μ Ò ε D11 (x) = f(x) D 11 3 (x; d) ε T11 (x) = f(x) T 11 (x; c), x [x h,x h ]. ±É μ Ö ³ ± ³ ²Ó μ Î μï ± ε D11 (x) ÖÉ μé h f (j) (x), j= 0,3, ε T11 = ε T11 (x, f (i) 0 ), i = 0,11.. 1, μ± Ò μ± ³ ÉÒ ˆf D 11 3 (x; d), ˆf T3 (x; c) ˆf T 11 (x; c), x [ 0,31, 0,31]. ƒ Ë ± log ε D (x) log ε T (x) Ò. 1,,. ³ ²μ³ Ï h =0,01 μï ± ε T11 (x) ³ ÓÏ ε D11 (x) 11

14 20 μ Ö ±μ (. 1, ) μîé ³ É ². h =0,31 μ± É μ É Ê ² x 0 =0ε T11 (x) <ε D11 (x) ² ÏÓ É ÉÓ ² Ò É ², μ É ²Ó μ Î É μ³ Êɱ ε T11 (x) ε D11 (x) (. 1, ). Î Ö μï ± ε D ³ ²μ³ μé ± [ 0,01, 0,01] Ìμ ÖÉ Ö ³ Ê (. 1, ), ÎÉμ μ² μ É ÉμÎ μ ²Ö Ï Ö ±É Î ± Ì Î. ³μÉ ³ Š ËÊ ±Í Ê (. 2) ²μ ²Ó μ μ³ μ ɱ Δ [a,b] : a = 1 < 0,5 < 0 < 0,5 < 1=b Ê³Ö ³ É ³ S k μ ³ ÉÒ±μ μî Ò³ Ê ²μ³ ²μ± ²Ó Ò³ ɱ ³ x 0k h<x 0k <x 0k + h, k =1,2. Î ÖÌ x 01 = 0,5 x 02 =0,5 ±μôëë Í ÉÒ d 1 d 2 ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ ÉÒ ˆf(x) = { D 11 3 (x +0,5; d 1 ), 1 x 0, D 11 3 (x 0,5; d 2 ), 0 x 1 ÒÎ ²Ö² Ó μ Ëμ ³Ê² ³ (3.6) ( Î ÉÒ Ò μ² Ò 15 ÖÉ Î Ò³ - ± ³ ): d 1 =[0,13793, 0,47564, 1,16446, 2,37529, 0,15232, 4,93819, 86,80537, 63,82163, 494,79481, 615,36684, 692,39091, 1013,76627] T, d 2 =[0,13793, 0,47561, 1,16446, 2,37529, 0,15922, 4,92424, 86,87115, 63,96608, 495,00570, 615,85497, 692,62389, 1014,32412] T. Ë ± Ì μï μ± ε (j) =log f (j) ˆf (j), j = 0,3, ²Õ É Ö 3- μ Ö μ± ² ±μ É ˆf(x) Ê ² ÉÒ±μ ± ² ±μ ÉÓ 11- μ μ Ö ± ÊÉ Í ²μ± ²Ó ÒÌ Éμ± (. 2). Œ ± ³ ²Ó Ò μï ± f ˆf max < 10 5 f ˆf max < 10 3, x [ 1, 1]. ±μ Ê ² Î Î ² ³ Éμ μ ³ É μ Ê Ò ÕÉ.. 2. ³ É Í Ö ËÊ ±Í Ê Ê³Ö Œ -³ μ μî² ³ 11- É 12

15 ³, ²μ ²Ó μ ɱ É Í ÉÓÕ Ê ² ³ (k =6, h =0,165), Î Ö μï μ± f (j) ˆf (j), j = 0, 2, Š ËÊ ±Í Ê (4.1) Ìμ ÖÉ Ö Ê μ ÖÌ 10 15, μμé É É μ. ³ 2. ³μÉ ³ ± ÊÕ f(x) =F (x,y ),x [ 1,2, 2], μ²μ- ÊÕ ²μ ±μ É y =0,35 μ Ì μ É, μ Ê ³ [8] F (x,y) =0,75 exp ( [(9x 2) 2 +(9y 2) 2 ]/4)+ +0,75 exp[ (9x +1) 2 /49 (9y +1) 2 /10] + 0,5exp[ (9x 7) 2 + +(9y 3) 2 ]/4 0,2exp[ (9x 4) 2 (9y 7) 2 ],x,y [ 1,2, 2]. (4.2) Ê ² Ì ²μ ²Ó μ ɱ Δ ab : a = 1,2 < 0,7 < 0,15 < 0,35 < 0,9 < 1,4 < 2=b ÒÎ ² ³ f (j) i, i = 1,7, j = 0,3, ³ ³ É Ò É Ì ²μ± ²Ó ÒÌ Éμ± x 01 = 0,7, x 02 =0,35, x 03 =1,4, α k = 0,5, β k =0,55, k = 1,3. ˆ μ²ó ÊÖ ² μ ɳ Š ³μ ²Ó S k = 3 b T j ˆr jk, k = 1,3, μ²êî ³ ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó ÊÕ μ± ³ ÉÊ ˆf(x) (. 3), ÊÕ ± É É μ³ê Ê: S 1 (x) =0, ,7080x +0, ,9485x 2 24,328x 3 167,04x 4 499,15x 5 896,36x ,2x 7 797,62x 8 386,65x 9 108,07x 10 13,278x 11, 1,2 x 0,15; S 2 (x) =0, ,7960x +3,9088x 2 14,934x 3 ˆf(x) 76,407x 4 +49,281x ,43x 6 432,83x ,3x ,9x ,5x ,65x 11, 0,15 x 0,9; S 3 (x) = 5325, x +1, x 2 3, x , x 4 5, x 5 +3, x 6 1, x x x ,3x ,86x 11, 0,9 x 2. ³ ÉÒ S (j) k, j = 0,4, μï ± ε =log f ˆf. 3 μ± Ò ²μÏ Ò³ ² Ö³. ƒ Ë ± f (j), j = 0,3, μé³ Î Ò Éμα ³. Ò Ò Ê ² Ì ÉÒ±μ ± ³ É Ò Éμ²Ó±μ ²Ö Î É Éμ μ μ μ ˆf (4) (x) (. 3, ). Œ ± ³ ²Ó Ò μï ± ²μ± ²Ó ÒÌ É± Ì μ É ² : ε max < 10 8, x [ 1,2, 0,15], ε max < 10 4, x [ 0,15, 0,9], ε max < 10 7, x [0,9, 2]. ²μ ²Ó μ μ³ μ ɱ É Í ÉÓÕ Ê ² ³, ±μéμ ÒÌ ÖÉÓ ÉÒ±μ μî Ò, ± Î É μ Š f(x) ³ É ³ S (j) k (x), x [ 1,5, 1,5], k = 1,6, Ï μ³ h =0,25 ³ É μ ʲÊÎÏ É Ö, μï ± ʳ ÓÏ ÕÉ Ö (. 4). μ± ³ ÉÒ ˆf (j) (x) Ò Ò Ê ² Ì ±² ± ³ Éμ S (j) k (x) ²Ö j = 0,3, ³ Ê ÉÒ±μ μî Ò³ Ê ² ³ j = 0,11. Í ± ˆf (4) (x) μ± Ê ±É μ³ (. 4, ). j=0 13

16 . 3. Š f(x) É ³Ö Œ -³ μ μî² ³ 11- É. 4. ³ É Í Ö f(x) μ³ μ ɱ, h =0,25 ( ). ³ ÉÒ S (j) k (x), j = 1,4, Ò ± μ Ð ³Ê ³ ÏÉ Ê ( ). Ï ± ε (j) k =log f (j) S (j) k, j = 0,3, k = 1,6 ( ) ³ Î 4. ² Ö ³ μ μî² ³ 5- ² 8- É ±μôë- Ë Í É ³ (3.4)Ä(3.6) μ²ó ÊÕÉ ² Î Ò μ Ö ± μ μ ÒÌ μ±- ³ Ê ³μ ËÊ ±Í. ³, (3.4) É Ö Éμ²Ó±μ Ö μ μ Ö, (3.5) Å Ö Éμ Ö. ² (3.5) ² (3.6) ÖÉÓ Éμ²Ó±μ Ï ÉÓ ÒÌ ±μôëë Í Éμ, Éμ μ²êî ³ μ± ³ ÊÕÐ ³ μ μî² Ò ÖÉμ É, ±μéμ ÒÌ μ²ó Ê É Ö 2- ² 3- μ Ö μ± μ μ ÒÌ. 5. ƒ ˆ ˆ Œ -Œ ƒ Œˆ Šˆ Œ μ μî² Ò Ò μ± Ì É ±μ μ²ó ÊÕÉ Ö ²Ö ² Ö Ô± - ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ Éμ²Ó±μ μ Î μ²óïμ ÒÎ ² É ²Ó μ ²μ μ É, μ - ²μÌμ μ Ê ²μ ² μ É μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ. Š ± ²μ, μ ² ³ μ Ê ²μ ² μ É Ê É Ö É Ö μ³μðóõ ³ μ μî² μ - ÒÏ ² μ Éμ μ ² Í, Œ ÔÉ Î Ï É Ö μ³μðóõ Ê - ²ÖÕÐ Ì ³ É μ [4]. ³ Ì ² Ö ³μ ² μ ÒÌ ²Ó ÒÌ ÒÌ μ± ÔËË ±É μ ÉÓ μ²ó μ Ö Œ -³ μ μî² μ 11- É ² μ ɳ Š [7]. 14

17 ³ 3. Ó ÕÉ Ö Ê²ÓÉ ÉÒ ² Ö 12- μ μ Ö ± μ μ μ Éμ μ μ ÒÌ ² μ É³μ³ Š μí Ê μ Least- Squares (... ) ± É Maple. Ìμ μ Ì μí Ê μ ÉÊ ² Ò μ ± { } ÉμÎ ± S : (x i fi ), x i [1,25, 1,5], fi = f(x i )+e(x i ), ÖÉÒÌ i=1 ± μ f(x) =1+exp ( (x 1,3) 2 /2 / (0, ,025(x 1,3)) 2),³μ ² - ÊÕÐ Ëμ ³Ê ² μï ± ³ e(x) N(0,σ), σ =0,25 (. 5, ). ÒÌμ μ²êî Ò μí ± ±μôëë Í Éμ ³ μ μî² μ ˆf Œ = 3 j=0 b T j ˆr j ˆf Œ Š = 11 ĉ i (x x 0 ) i, ĉ i ÒÎ ²Ö² Ó μí Ê μ LeastSquares (...). i=0 ²Ö μ μé± ÒÌ Ò μ ± S μ²ó μ ² Ö Éμ²Ó±μ μ ³ É. - ³ É Ò É± Δ αβ 3 Ò ² Ó ÊÎ Éμ³ Ëμ ³Ò ² É ±, ÎÉμ Ò μ μ Ö Éμα (x 0, ˆr 00 ) μ ² μ Ê ± : x 0 =1,3, α = 0,025, β =0,05. ²Ö μ Ö ³ μ É μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ Ò ³μ Ë Í μ ² Ó ± Ê {ũ i = f } 250 i b T 0 (τ i,α,β)ˆr 0, ±μ³ μ ÉÒ ±Éμ ˆr 0 μ ²Ö² Ó i=1 μ μ É ³, ² Ï ³ ± ² Ö³ x α =1,275, x 0 =1,3 x β =1,35 ( Ò- ( l=7 ² Ò. 5, ), ˆr 0j = f ν+l )/15, ν = α, 0,β. μ ² ÔÉμ μ l= 7 Ï Ö É ³Ò μ ³ ²Ó ÒÌ Ê ũ i b jkiˆr jk =0, b jki = Q j (τ i,α,β)w k (τ i,α,β), (5.1) ˆr jk i=1 j=1 k=1 Ìμ ² Ó ±μ³ μ ÉÒ ˆr j. ÊÎ Éμ³ ˆr 0 μ²êî ² ±μôëë Í ÉÒ ³ μ- μî² ˆf Œ : T 1, , 7190 ˆr 0 = 1, , ˆr 1 = 18603, 11047, 1, , ˆr 2 = 4, , , , ˆr 3 = 2, , , ( 250 / ƒ²μ ²Ó Ò μé μ É ²Ó Ò μï ± ρ e = ( f i ˆf 250 ) 1/2 i ) 2 f i 2 ²Ö i=1 i=1 ˆf Œ ˆf Œ Š μμé É É μ Ò 0, , Œμ ʲ - Ö μ± f ˆf, f MHK ˆfŒ ± Ò ˆfŒ, ˆfŒ Š μ± Ò. 5,,, Î ³ max f ˆf f Œ =0,219 < max ˆfMHK =0,

18 . 5. ʲÓÉ Éμ ² 12- μ μ Ö ± Œ Œ Š (Maple) É μ É ²Ó Ö μï ± ²Ö ˆf Œ Éμα x 0 =1,3 μ É ² 1,5 %, ²Ö ˆf Œ Š Å29%. μ² Ò μ± Ö ÉμÎ μ ÉÓ ˆf Œ μ²êî Î É Ò μ μ Ìμ ÖÐ Ì Î - ³ É μ x 0, α β, μ Î ÕÐ Ì Ö ±Ê ± Ò³, Ì É Ëμ - ³ Í, É ± Î É μ Ö É ³ μ É μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ. ³ 4. μ Ì μ É ³ ± ± ±μ Ï²Ö Ò Ω(x,y) = sin ( x 2 + y 2 ) y = 0,2 Ò ² ³ ± ÊÕ f(x), x [ 6,2, 6,2], μí Ë Ê ³ Ï μ³ h =0,124: { f i =Ω(x i, 0,2)+ e(x i )} N i=1, e i N(0,σ), σ =0,25, N = 100 (. 6, ). ʲÓÉ ÉÒ ² Ö ÔÉ Ì ÒÌ μí Ê μ LeastSquares (...) ² μ É³μ³ Š (Œ -³ μ μî², n =11, m =3, x 0 =0,3, α = 6, β = 5,8) μ± Ò. 6. Š Ò ˆf Œ (x), ˆfŒ Š (x) ³μ- ʲ Ö μ± É ² Ò. 6,. ƒ²μ ²Ó Ò μé μ É ²Ó Ò μï ± ρ e μ É ² 1, ( ˆf Œ ) 5, ( ˆf Œ Š ).. 6. ² ± μ ³ ± ± ±μ Ï²Ö 16

19 ³ 5. Ó É μöé Ö ± Ò μ² μ μ Î Ö ²Ö π p- ³μ É Ö μ Ò³, ÖÉÒ³ μ ±μ μ Ë Î ±μ μ Ê - ² [9] É ² Ò³ Ò μ ±μ {x i, S i } N i=1, N = 277, μé ± 1 x i 6 Ï μ³h =5/277. Š Ö ˆf Œ Š 12- μ μ Ö ±, μ²êî Ö μí Ê μ Least- Squares (...), ²μÌμ ² É Ò (. 7, ).. 7, μ± - ʲÓÉ É ² Ö É ³Ö ³ É ³ μ²ó μ ³ Œ -³μ ² ( ³. (1.3)). μ Ö ± Ö ˆf Œ ˆf(x) Ð É Ö É Ì ²μ± ²Ó ÒÌ É± Ì Ëμ ³ ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ ËÊ ±Í ˆf 1 (x), x 01 + α 1 x x 01 + β 1, ˆf(x) = ˆf 2 (x), x 01 + β 1 x x 02 + β 2, ˆf 3 (x), x 02 + β 2 x x 03 + β 3. Î É 36 ±μôëë Í Éμ ˆf(x) ² μ ɳ Š μ Éμ É ÖÉ ÔÉ μ [7]. μ³ ÔÉ μ ÕÉ Ö ³ É Ò ² Ö α k,x 0k,β k, μ- ² Î μ Ò μ ± ²Ö É Ö Î É { S i } 277 i=1 = { S i 1 1 } 87 i { S 2 1=1 i 2 } 180 i 2= ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó μ ² Ö ÒÌ ÒÌ 17

20 { S 3 i 3 } 277 i 3=180 μμé É É ³ μé ± É ²μ± ²Ó Ò É± [x αk <x 0k <x βk ], k = 1,3 : [1,01805<1,70698<2,55836], [2,55836<3,40975< 4,24308], [4,24308<5,11252<5,96390] c ³ É ³ [α 1,β 1 ] = [ 0,688929, 0,851384], [α 2,β 2 ]=[ 0,851384, 0,833333] [α 3,β 3 ]=[ 0,887485, 0,851384]. Éμ μ³ É ÉÓ ³ ÔÉ Ì ÒÎ ²ÖÕÉ Ö ±μ³ μ ÉÒ ±Éμ μ ˆr 0k, k = 1,3, μ ³ Î Ö³ É Ì ÉμÎ ± Ò μ ± { S i }, ² Ï Ì ± ² Ö³ x = x νk + ν k, ν k = α k,x 0k,β k (. 7, ), Ò μ² Ö É Ö μ μ- ÒÌ {ũ k i k } = { S i k k b T 0 k (τ ik,α k,β k )r 0k }, i k Å ± Ò ÉμÎ ± k- Ò μ ±. Î É Éμ³ ÖÉμ³ ÔÉ Ì μ ²ÖÕÉ Ö ±μ³ μ ÉÒ ±Éμ μ ˆr jk, j = 1,3, k = 1,3, Ï Ö É ³Ò μ ³ ²Ó ÒÌ Ê (5.1) ²Ö ± μ μ ³ É. ʲÓÉ É ˆf Œ (x) Ò É Ö É ³Ö ³ μ μî² ³ 11- É (. 7, ): ˆf Œ (x) = 3 b T j1 r j1 1,00000 x 2,55836, j=0 3 b T j2 r j2 2,55836 x 4,24308, j=0 3 b T j3 r j3 4,24308 x 6,00000 j=0 ±μôëë Í É ³, Ò³ ±μ³ μ É ³ ±Éμ μ ˆr jk, j = 1,3, k = 1,3: ˆr 01 =[4,782333, 11,346667, 25,066667] T, ˆr 02 =[25,066667, 12,739333, 11,911667] T, ˆr 03 =[11,911667, 6,810000, 3,370000] T, ˆr 11 = [140,721302, 2,375055, 1,910167] T, ˆr 12 =[2,845255, 9,862379, 11,262746] T, ˆr 13 =[14,415348, 2, , 6,474845] T, ˆr 21 = [1350,804291, 22,662990, 122,655007] T, ˆr 22 = [243,603729, 91,328014, 24,481095] T, ˆr 23 =[ 194,710897, 3,669323, 10,696837] T, ˆr 31 =[ 3658,247263, 1867,768143, 3254,874348] T, ˆr 32 =[ 737,141991, 373,552365, 241,171716] T, ˆr 33 = [619,800047, 147,046146, 89,643245] T. Í ± ²μ ²Ó μ μé μ É ²Ó μ μï ± ÔÉμ³ ³ μ É ² ρ e = 0,

21 ² Í 4 ³ É Ò É± ±Éμ Ò ˆf 1(x) ˆf2(x) ˆf3(x) Δ α kβ k 1,04950 < 1,48680 < 2,36964 < 3,25248 < 4,08581 < 5,01815 < 3 < 2,36964 < 4,08581 < 5,90099 α k,β k 0,43729, 0, ,88284, 0, ,17987, 0,88284 [2,04408, 1,24378, [0,69672, 1,30191, [1,32295, 0,40737, ˆr 0k 0,69672] T 1,32295] T 1,83698] T [12,05011, 0,91478, [ 326,12377, 8,45814, [1272,84988, 300,67546, ˆr 1k 11,4726] T 27,30369] T 934,75017] T ˆr 2k [3,12796, 3,13380, [ 49,92454, 27,04271, [201,72791, 100,65795, 5,83214] T 1,66094] T 16,69193] T ˆr 3k [6,77837, 1,76352, [ 11,79781, 10,86427, [13,23296, 49,64309, 2,76480] T 4,24216] T 7,46546] T. 7, μ± Ò Ê²ÓÉ ÉÒ ² Ö ² μ É³μ³ Š Ò- μ ± { f i } N i=1, N = 100, É ²ÖÕÐ Ë ³ É ÒÌ Î Ö ²Ö ±Í (n, γ) U 238 μ μ μ ² É, ÖÉÒÌ Nuclear Data from TENDEL ʲÓÉ ÉÒ Î Éμ ±μ³ μ É ˆr jk, j = 0,3, ²Ö ˆf k (x), Ê ²Ò Éμ± x 0k + α k <x 0k <x 0k + β k Î Ö α k, β k, k = 1,3, Ò É ². 4. ƒ²μ ²Ó Ö μé μ É ²Ó Ö μï ± ρ e =0, Š ˆŒ ˆŸ ˆ ƒ ˆ ˆ Œ ˆ Šˆ Š ˆ μ ² ³ ³ É Í ± ÒÌ ±μ ÉÊ μ ±ÉÊ ²Ó Ï μ±μ³ ±É μ ³ ÒÌ É Ì μ²μ ±² ÒÌ ² μ. ² ÊÕÐ Ì ³ - Ì Œ -³ μ μî² Ò 11- É μ²ó ÊÕÉ Ö ²Ö μ± ³ Í ² - Ö ± ÒÌ, ÒÌ ³ É Î ±. ³ 6. Ê ÉÓ Ô²² C(x,y) ³ É Î ± Í É μ³ x c =3, y c =2: x(t) =x c +3sin(t 1), y(t) =y c 4cos(t +1.5), π t π. ²Ö ² Ö x(t) y(t) μ³ μ ɱ h <0 <h, h = 3,14, μ²ó μ ² Ó Œ -³ μ μî² Ò x D (t) 11 d xi (h; x (j) ν )t i, y D (t) 11 i=0 d yi (h; y (j) ν )t i ±μôëë Í É ³ (3.6) ³ μ μî² Ò ²μ x T (t) 19 i=0

22 11 i=0 x (i) 0 /i!ti, y T (t) 11 i=0 ³ ÊÕÐ Ì ³ μ μî² μ ²Ö 3,14 t 3,14: y (i) 0 /i!ti. ʲÓÉ É μ²êî Ò Ò μ± - ˆx D (t) =0, ,620907t +1,262206t 2 0,270151t 3 0,105144t ,013506t 5 +0,003490t 6 0,000321t 7 0,000060t , t 9 +5, t 10 3, t 11, ŷ D (t) =1, ,989980t +0,141474t 2 0,664997t 3 0,011785t ,033245t 5 +0,000391t 6 0,000790t 7 6, t , t 9 +5, t 10 7, t 11 ˆx T (t) =0, ,620907t +1,262206t 2 0,270151t 3 0,105184t ,013508t 5 +0,003506t 6 3, t 7 6, t , t 9 +6, t 10 +4, t 11, ŷ T (t) =1, ,989980t +0,141474t 2 0,664997t 3 0,011790t ,033250t 5 +0,000393t 6 0,000792t 7 7, t , t 9 +7, t 10 +9, t 11. ƒ Ë ± Ô²² μ ĈD(ˆx D, ŷ D ), ĈT (ˆx T, ŷ T ) μé±²μ ĈT μé ĈD - Ò. 8,. ² ÌÊ μ Ë ± μï μ± ε D = ε(ε x,ε y ), ε x = x(t) ˆx D (t), ε y = y(t) ŷ D (t). ³ ² Ö Ô Í ±²μ Ò C(x,y) Å É ² É ± Å x(t) = 5/3sin(2t/3) 2sin(t/3), y(t) =5/3cos(2t/3)+2 cos (t/3), t [ 10,10], ³μ É Ê É Ö.8,,. ŠμÔËË Í ÉÒ d x d y μ± ³ ÊÕÐ Ì ³ μ μî² μ ˆx D (t, h; d x ), ŷ D (t, h; d y ) ˆx T (t), ŷ T (t) ÒÎ ²Ö² Ó μ Ëμ ³Ê- ² ³ (3.6) μ³ μ É ÌÉμÎ Î μ ɱ h <0 <h, h =8(. 8, ). Œ μ μî² Ò ˆx D ŷ D ² ÕÉ x(t) y(t) ³ μé ± Ìμ μï ÉμÎ μ ÉÓÕ (. 8,, ), ³μÉ Ö μ²ó μ μ μ ÒÌ Éμ²Ó±μ μ É ÉÓ μ μ Ö ± μ²óïμ Ï (h =10), Éμ ± ± ˆx T (t) ŷ T (t) ³ É μ μéìμ ÖÉ μé x(t) y(t) (. 8, ). ʲÓÉ É Éμ²Ó±μ Í É ²Ó μ Î É ± μ ĈT (ˆx T, ŷ T ) Ìμ μïμ ² É C(x,y) (. 8, ). ³ ÓÏ ÉÓ μï ±Ê μ± ³ ÉÒ ĈT ³μ μ Î É Ê ² Î Ö É ³ μ μî² T (t). ³ μ± Ò Ê²ÓÉ ÉÒ ² Ö ³ É Î ± ÒÌ ± ÒÌ C(x(t),y(t)) ³ μ μî² ³ (1.3) μ Ò μ ± ³ ÉμÎ ± { x i = 20

23 . 8. ² Ô²² É ² É ± ³ μ μî² ³ D 11(t, h) T 11(t) x(t i )+e xi, ỹ i = y(t i )+e yi } N i=1, e x N(0,σ x ), e y N(0,σ y ). Ò μ ± { x i } N i=1 {ỹ i} N i=1, N = 900, μ²êî Ò Ê μí ±²μ Ò C(x, y) x = a(1 b)sin(bt) c sin (t bt), y = a(1 b)cos(bt)+c cos (t bt) (6.1) μ ² ³ μ ³ ²Ó μ ² ÒÌ ³ÒÌ ²ÊÎ ÒÌ μï μ± e x e y, σ x = σ y =0,25. μî± ( x i, ỹ i ), α t i β Ö Ò μ± Ê ± μ ( Ê ±É. 9, ) ³ É ³ a =4, b =1/4, c =3. μ ² ² - Ö { x i } N i=1 {ỹ i} N i=1 ² μ É³μ³ Š μ²êî Ò μ Ò ± Ò 12- μ μ Ö ± ˆx(t) ŷ(t), t [ 12,45, 12,45]: ˆx(t) = 0, , t+0, t 2 +0, t 3 0, t 4 0, t 5 +0, t , t 7 7, t 8 2, t , t 10 +4, t 11 ; ŷ(t) =5, , t 0, t 2 0, t 3 + 0, t 4 +0, t 5 0, t 6 2, t 7 +0, t 8 +8, t 9 5, t 10 1, t 11. Š Ò Ĉ(ˆx,ŷ) C(x,y) μ Ò. 9,. Ê μ± Ò μ É É± res i =( x i ˆx i, ỹ i ŷ i ), ² Å μï ± ε i =(x i ˆx i,y i ŷ i ). ³ É- μ μé±²μ Ĉ μé C ² Éμα (0, 5) (. 9, ) μ ÑÖ Ö É Ö μ Ö ±μ³ ³μ ² ² Ö, ²Ö Ê É Ö É ±μ μï ± μ Ê ² Î ÉÓ É - Ó ˆx(t) ŷ(t) ² μ²ó μ ÉÓ Š. 21

24 . 9. ² μí ±²μ Ò ³ μ μî² ³ D 11 3 (x, α, β; r). 9, É ² Ò Ê²ÓÉ ÉÒ ± É Î μ Œ - μ- ± ³ Í 12- μ μ Ö ± μ Ò μ ± ³ { x i } 700 i=1 {ỹ i} 700 i=1, σ x = σ y =0,15, μ²êî Ò³ ± μ (6.1) a = 4, b = 1/4, c = 2, ³ É ³ Œ - ² Ö α = 12,3, β =12,2, x 0 =0. Š ˆ ²μ μ Ò μ Ìμ ± Ï Õ Î μ² μ³ ²Ó μ μ± - ³ Í ² ± Ì ËÊ ±Í ² Ö Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ Œ - ³ μ μî² ³ Ò μ± Ì É. Î É ÊÉ Ö ³μ - ³ μ ³ É ³ ±μ É Ê±Í Œ -³ μ μî² μ É μ Ò μ É ³ μ μî² μ ²μ Ê ² Ì É ÌÉμÎ Î μ ɱ ³ μ μî² μ Éμ μ É. Œ -³ μ μî² Ò μ ² ÕÉ Ö μ³ μ É, ²μ- Î ÒÌ μ É ³ ³ μ μî² μ ÒÏ. ³± Ì ³ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ [4] μ²êî Ò μ Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö Î É ±μôëë Í Éμ ³ μ μî² μ Ò μ± Ì É μ³ μ É ÌÉμÎ Î μ ɱ. ŠμÔËË Í ÉÒ Œ -³ μ μî² n- É, μ± ³ ÊÕÐ μ - Ò ÊÕ ËÊ ±Í Õ f, ÒÎ ²ÖÕÉ Ö μ Ê ²μ Ò³ Î Ö³ μ μ ÒÌ ³ ± ³ ²Ó Ò³ μ Ö ±μ³ m = n/3 μ Ò Ò³ ³ É ³ ɱ α, β x 0, Ò μ ±μéμ ÒÌ ² Ö É ÉμÎ μ ÉÓ Ê Éμ Î μ ÉÓ Î Éμ. ²ÊÎ ± É Î μ μ± ³ Í α β Ö ²ÖÕÉ Ö ³ É ³ ² Ö. Ê ²ÖÕÐ Ì ³ É μ Ò ËÊ ±Í Ï - Ö É ÍÒ ³ Ö ±² Î ± Ì ³ Éμ μ μ± ³ Í μ μ²ö É Ï ÉÓ ³ μ Î ³ ²Ó μ μ ³. μ²êî Ò μ Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ Œ -³ μ μî² μ, - É ²ÖÕÐ Ì ËÊ ±Í Õ f(x) C (3) ²μ ³ μ É Ö³ (x x 0 ) 22

25 μé ± [x 0 h, x 0 + h]. μ Õ ³ μ μî² μ³ ²μ 11- É, ÔÉ Ëμ ³Ê²Ò μ²ó ÊÕÉ ³ ÓÏ μ Ö μ± μ μ ÒÌ, m =3 11, ÖÉ μé Ï μ³ μ É ÌÉμÎ Î μ ɱ x 0 h<x 0 <x 0 + h. μ- ± Ëμ ³Ê² μ ÊÐ É ² Î É ³ μ³μðóõ ² μ É³μ Š CŠ. ËË ±É μ ÉÓ Î Éμ μ²ó μ ³ Œ -³ μ μî² μ Ò μ±μ É μ É É ²Ó Ò³ ³ ³ Ï Ö Î μ± - ³ Í ² ± Ì ËÊ ±Í ² Ö Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ, É ± ³ ²μ Î Ò³ ʲÓÉ É ³, μ²êî Ò³ μí Ê μ Least- Squares (...) ± É Maple. Œ Ëμ ³Ê²Ò ÒÎ ² Ö ±μôëë Í Éμ ²Ö Œ -³ μ μî² μ ³μ- ÊÉ ÒÉÓ μ²ó μ Ò ± Î É É Ê³ É ²Ö Ï Ö Î ±² μ ³ É ³ É ± É μ É Î ± Ì ² μ ÖÌ, É ± ²Ö Ï Ö ±É Î - ± Ì Î Ï μ±μ³ ±É ÊÎ ÒÌ É Ì Î ± Ì μéμ±. ˆ 1. ÒÏ.. ˆ Ò É Ê Ò. Œ.: ˆ - μ, ÓÖ²μ.., Š μ. ˆ., Œ μï Î ±μ.. Œ Éμ Ò ² -ËÊ ±Í. Œ.: ʱ, Dikoussar N. D. Function Parameterization by Using 4-Point Transforms // Comp. Phys. Commun V. 99. P. 235Ä ±Ê.. Œ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ // Œ É ³. ³μ ² μ , º Ä136 (Math. Models and Comp. Simulations V. 3, No. 4. P. 492Ä 507). 5. Š ² ɱ.., ²ÖÌμ ˆ. Œ. - ² Ò Ò μ± Ì É // Œ É ³. ³μ ² μ T. 11, º Ä μ Š. ±É Î ±μ ʱμ μ É μ μ ² ³. Œ.: μ Ö Ó, ±Ê.. ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± - Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ // Œ É ³. ³μ ² μ , º Ä Franke R. Scattered Data Interpolation: Tests of Some Methods // Mathematics of Computation V. 38. P. 181Ä European Physical Journal C. Review of Particle Physics. Springer, P μ²êî μ 10 Õ Ö 2014.

26 ±Éμ. ˆ. É μ ± Ö μ μ Î ÉÓ μ ³ É 60 90/16. ʳ μë É Ö. Î ÉÓ μë É Ö. ². Î. ². 1,6. Î.-. ². 1, Ô±. ± º ˆ É ²Ó ± μé ² Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ ,. Ê, Œμ ±μ ± Ö μ ²., ʲ. μ² μ-šõ,